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Problemas de m.c.m. y M.C.D.

Ahora que ya sabes calcular el mínimo común múltiplo (m.c.m.) y el máximo común divisor (M.C.D.) … ¡te encuentras con que también hay que resolver problemas de m.c.m. y M.C.D.! Empiezas a leer los enunciados y tu mente se bloquea… ¿cómo me doy cuenta de si es un problema de m.c.m. o M.C.D.? ¡Tranquilo! Veremos algunos trucos que te pueden ayudar.

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Problemas de m.c.m. y M.C.D.

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) y el máximo común divisor (M.C.D.) son muy útiles para resolver problemas reales.

La dificultad de estos problemas reside en la elección del m.c.m. y el M.C.D., por lo que tendremos que analizar cada problema para saber si debemos calcular uno u otro.

Por tanto, para resolver estos problemas hay que seguir los siguientes pasos:

1º. Escoger entre m.c.m. y M.C.D.

2º. Descomponer factorialmente los números del problema en factores primos.

3. Calcular el m.c.m. o M.C.D.

4º. Responder al problema.

Recuerda que el m.c.m. se obtiene multiplicando los factores comunes y no comunes con mayor exponente, y el M.C.D. se calcula multiplicando los factores comunes con menor exponente. Antes de resolver los problemas, repasa la descomposición factorial, cómo se calcula el m.c.m. y el M.C.D. si no te acuerdas de hacerlo.

Elección entre m.c.m. o M.C.D.

Aquí te dejo algunos tips que pueden ayudarte a decidir cuándo hay que usar el m.c.m. y cuándo el M.C.D.:

  • En un problema habrá que usar el m.c.m. cuando nos pregunten por “algo que se repite en el tiempo”, cuando nos pregunten por el momento en el que “se vaya a coincidir” o cuándo “se encuentran”. Lo que tenemos que calcular será siempre un número mayor o igual a los números dados en el problema.
  • Utilizaremos el M.C.D. en aquellos problemas que nos pidan “dividir o repartir en partes iguales”, “hacer grupos” o nos pregunten por “el máximo, el mayor, el más grande, el más amplio, …” En este caso, lo que nos piden calcular será siempre menor o igual a los números dados en el problema.

Problemas de m.c.m. y M.C.D. resueltos

Ahora vamos a resolver algunos problemas a modo de ejemplo, para que puedan servirte de ayuda y guía. Te aconsejo que leas el enunciado y, antes de ver la solución, lo intentes por tu cuenta. ¡Ánimo!

Problema 1

Tengo que hacer collares con cuentas de colores. Tengo 120 cuentas rojas, 160 blancas y 200 marrones. Quiero hacer los collares sin mezclar colores, lo más grandes posibles y todos los collares con el mismo número de cuentas y sin que sobre ninguna. ¿Cuántas cuentas podrá tener cada collar? ¿Cuántos collares puedo hacer de cada color?

Solución

En este problema nos piden «hacer grupos» de cuentas para realizar collares “lo más grandes posibles”, por tanto, estaremos en un problema de M.C.D.

Descomposición factorial de 120, 160 y 200

Máximo común divisor de 120, 160 y 200

Cada collar tendrá 40 cuentas.

De esta forma, podré hacer:

Solución problema MCD cuentas collares

Problema 2

Marta va a visitar a su padre a la residencia donde vive cada 4 días, y su hermano Pedro cada 6 días. Si hoy han coincidido, ¿dentro de cuántos días volverán a coincidir?

Solución

Nos preguntan “cuándo volverán a coincidir”, por tanto, m.c.m.

Descomposición factorial de 4 y 6

Mínimo común múltiplo de 4 y 6

Volverán a coincidir dentro de 12 días.

Problema 3

Jorge tiene una cuerda de 24 metros y Marcos una de 18 metros. Quieren cortarlas de modo que todos los trozos sean iguales pero lo más largos posible. ¿Cuántos trozos de cuerda podrá hacer cada uno?

Solución

Tenemos que “dividir” en trozos lo más “largos posible”, por tanto, M.C.D.

Descomposición factorial de 18 y 24

Máximo común divisor de 24 y 18

Cortará trozos de 6 metros. De esta forma, podrán hacer:

Solución problema MCD cuerda

Problema 4

Mónica quiere pintar las paredes de casa. Ha calculado que necesitará 16 litros de pintura blanca, 36 litros de pintura ocre y 12 litros de pintura verde. Quiere comprar botes de pintura que tengan los mismos litros y que el número de botes sea el menor posible. ¿De cuántos litros debe ser cada bote y cuántos botes de cada color debe comprar como máximo?

Solución

Este problema puede llevar a confusión, ya que nos pide que el “número de botes sea el menor posible”, por lo que podríamos pensar que se trata de un problema de m.c.m. Sin embargo, tenemos que ver que el número buscado es menor que los que nos dan en el enunciado, por tanto, se trata de un problema de M.C.D. Además, al final nos dan una pista, ya que nos preguntan cuántos botes “debe comprar como máximo”.

Descomposición factorial de 12, 16 y 36

Máximo común divisor de 16, 36 y 12

Cada bote debe ser de 4 litros, y necesitará:

Solución problema MCD botes pintura

Problema 5

Isabel y Juan salen a correr alrededor del parque del barrio. Isabel tarda 24 minutos en dar una vuelta completa, y Juan 16 minutos. Cuando coincidan por primera vez en la salida, ¿cuántas vueltas habrá dado cada uno?

Solución

El problema nos pregunta por el “momento en el que coincidan”, por lo que tenemos que calcular el m.c.m.

Descomposición factorial de 24 y 16

Mínimo común multiplo de 24 y 16

Volverán a coincidir en el minuto 48, momento en el que habrán corrido:

Solución problema mcm correr

Problema 6

María quiere hacer una colcha cosiendo retales de tela cuadrados del mayor tamaño posible. Si la colcha tiene que medir 230 cm de largo y 130 cm de ancho, ¿cuánto deben medir los retales? ¿Cuántos retales tiene que recortar para hacer la colcha?

Solución

Nos dicen que los retales cuadrados deben ser “del mayor tamaño posible”, por tanto, nos piden un M.C.D.

Descomposición factorial de 230 y 130

Máximo común divisor de 230 y 130

Los retales cuadrados deben medir 10 cm de lado, y la colcha tendrá:

Solución problema MCD retales ancho y largo

Por tanto, tendrá que recortar:

Solución problema MCD retales total

 

Espero que estos consejos y problemas resueltos te hayan servido para aprender a distinguir cuándo usar el mínimo común múltiplo o el máximo común divisor en los problemas.

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