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Números reales. Introducción.

¿A qué llamamos números reales? ¿Para qué sirven los números reales? ¿Con qué letra se representan los números reales? En primer lugar, explicaremos qué es un número real y qué conjuntos numéricos forman parte de él. Repasamos el concepto de fracción generatriz y los castillos de fracciones.

Si quieres ver más contenido relacionado visita nuestro temario sobre números reales.

Números reales

Todos los números que hemos estudiado, tanto los racionales como los irracionales, son números reales. Por tanto, el conjunto de los números reales está formado por los números racionales y por los números irracionales, y se representa con la letra ℝ.

Esquema números reales

Fracción generatriz

Vamos a repasar cómo se calcula la fracción generatriz. Como ya sabréis, cualquier número racional puede expresarse en forma de fracción, a la que llamaremos fracción generatriz.

Dependiendo del tipo de decimal que tengamos se procederá de una u otra forma para obtener la fracción generatriz:

  • Calcular la fracción generatriz de un decimal exacto: En el numerador se escribe el número sin la coma y en el denominador la unidad seguida por tantos ceros como cifras decimales haya. Por ejemplo:

Ejemplo fracción generatriz decimal exacto

  • Obtener la fracción generatriz de un decimal periódico puro: Se resta en el numerador el número completo (sin coma) menos todo lo que está fuera del periodo. En el denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga el periodo. Por ejemplo:

Ejemplo fracción generatriz decimal periódico puro

  • Hallar la fracción generatriz de un decimal periódico mixto: Se resta en el numerador el número completo (sin coma) menos todo lo que está fuera del periodo. En el denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga el periodo, seguidos de tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo. Por ejemplo:

Ejemplo fracción generatriz decimal periódico mixto

Propiedades de las operaciones con números reales

Las operaciones con números reales siguen las mismas propiedades que hemos estudiado para números naturales, enteros y racionales. A continuación, haremos un breve repaso de las mismas:

  • Propiedad conmutativa de la suma y de la multiplicación:

Propiedad conmutativa

  • Asociativa de la suma y de la multiplicación:

Propiedad asociativa

  • Elemento neutro de la suma:                                         0
  • Elemento unidad de la multiplicación:                         1
  • Opuesto (suma):

Opuesto

  • Inverso (multiplicación):

Inverso

  • Propiedad distributiva:

Propiedad distributiva

La propiedad distributiva nos permite sacar factor común en una expresión.

Ejemplo. Calcula el resultado de las siguientes expresiones:

a)

Ejemplo a propiedades reales

Ejemplo a propiedades reales resuelto

b)

Ejemplo b propiedades reales

Ejemplo b propiedades reales resuelto

Ejercicios con números reales resueltos

Ejercicio 1

Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales:

Ejercicio 1

Solución

Ejercicio 1 racionales

Ejercicio 1 irracionales

 

Ejercicio 2

Aplica las propiedades de los números reales para resolver las siguientes operaciones:

a)

Ejercicio 2a

b)

Ejercicio 2b

Solución

a)

Ejercicio 2a resuelto

b)

Ejercicio 2b resuelto

 

Ejercicio 3

Resuelve los siguientes castillos de fracciones:

a)

Ejercicio 3a

b)

Ejercicio 3b

c)

Ejercicio 3c

d)

Ejercicio 3d

Solución

a)

Ejercicio 3a resuelto

b)

Ejercicio 3b resuelto

c)

Ejercicio 3c resuelto

d)

Ejercicio 3d resuelto

 

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