¿A qué llamamos números racionales? ¿Con qué letra se representan los números racionales? Comenzaremos el tema explicando qué es un número racional y qué son las fracciones equivalentes y cómo obtenerlas. Además, te enseñaremos a comparar todo tipo de fracciones.
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Tabla de contenidos
Números racionales
Un número racional (ℚ) es aquel que se puede expresar como fracción de números enteros, en la que a recibe el nombre de numerador y b de denominador, siendo b distinto de cero.
Ejemplo. Indica si las siguientes expresiones son fracciones o no, justificando la respuesta.
Fracciones equivalentes
Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad:
En las fracciones equivalentes se cumple que “el producto de medios es igual al producto de extremos”. Por tanto, para comprobar que son equivalentes, debe cumplirse que:
Ejemplo. Indica si las siguientes fracciones son equivalentes:
Ejemplo. Calcula el valor de x para que las siguientes fracciones sean equivalentes:
Amplificación y simplificación de fracciones
Hay dos maneras de obtener una fracción equivalente a otra dada:
- Amplificar, es decir, multiplicar numerador y denominador por un mismo número, distinto de cero.
- Simplificar, es decir, dividir numerador y denominador por un mismo número, distinto de cero, que sea divisor común a ambos.
Ejemplo. Escribe dos fracciones equivalentes a
una por amplificación y otra por simplificación:
Fracción irreducible
La fracción irreducible de una fracción dada es una fracción equivalente en la que el numerador y denominador no tienen divisores comunes. Por tanto, una fracción será irreducible cuando no se pueda simplificar.
Ejemplo. Calcula la fracción irreducible de:
Comparación de fracciones
Como ya sabéis de otros años, el denominador indica el número de partes iguales en las que se divide la unidad, y el numerador expresa las partes que se toman.
-
Fracciones con el mismo numerador
Cuando dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador.
Ejemplo:
Vamos a representar ambas fracciones para verlo de forma visual:
En ambos casos se toman tres partes, pero cuando las partes son de tamaño mayor se coge más cantidad. Por tanto:
Comprobamos así que, cuando dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la de menor denominador.
-
Fracciones con el mismo denominador
Cuando dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que tenga mayor numerador.
Ejemplo:
Vamos a representar ambas fracciones para verlo de forma visual:
En ambos casos se divide la unidad en ocho partes, por lo que todas son del mismo tamaño. Por tanto, cuando tomamos más partes se coge más cantidad. Así:
Comprobamos así que, cuando dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la de mayor numerador.
-
Fracciones con distinto numerador y denominador
Cuando dos fracciones no tienen ni el mismo numerador ni el mismo denominador, para compararlas es necesario primero reducirlas a común denominador. De esta forma, ya se podrían comparar.
Reducir fracciones a común denominador consiste en obtener fracciones equivalentes a ellas con el mismo denominador en todas. Para ello, es necesario hacer el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores.
Ejemplo:
Como no tienen en común ni numerador ni denominador, el primer paso será calcular el mínimo común múltiplo de los denominadores.
El común denominador a ambas será 90.
Para hallar el numerador, hay que dividir el m.c.m. entre el denominador y multiplicar el resultado por el numerador:
Ahora que tienen el mismo denominador, será mayor la de mayor numerador:
Pero… ¿qué ocurre si una o varias fracciones son negativas?
Si se da el caso, no debes asustarte, ya que la forma de proceder será la misma. El signo se atribuirá al numerador, y a la hora de comparar numeradores se hará de la misma manera que se hacía con la comparación de números enteros.
Ejemplo. Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones:
En primer lugar, debemos hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores:
Ahora que tienen el mismo denominador, será menor la de menor numerador:
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Representación gráfica de fracciones
Los números racionales se representan en la recta real siguiendo el procedimiento que se detalla a continuación:
1º Trazamos un segmento, que será la unidad.
2º Dibujamos un segmento auxiliar desde el origen.
3º Con el compás se toma una medida arbitraria y se divide el segmento auxiliar en tantas partes como indique denominador de la fracción a representar. Como ejemplo, lo dividiremos en 5 partes:
4º Unimos el último punto del segmento auxiliar con el extremo del segmento unidad.
5º Trazamos segmentos paralelos en cada uno de los puntos dibujados en el segmento auxiliar.
Ejercicios resueltos de fracciones
Ejercicio 1
Calcula el valor de x para que las siguientes fracciones sean equivalentes:
Solución
Para resolver este ejercicio vamos a tener en cuenta que “producto de medios es igual a producto de extremos”.
a)
b)
c)
Ejercicio 2
Calcula la fracción irreducible de:
Para obtener la fracción irreducible hay que simplificar la fracción hasta obtener otra que no se pueda simplificar. Se puede hacer en un único paso, calculando previamente el máximo común divisor (M.C.D) y dividiendo por él. a) b) Ordena de mayor a menor: Algunas de estas fracciones se pueden comparar entre sí fácilmente, sin necesidad de realizar ninguna operación: Sin embargo, como tenemos que ordenador todas las fracciones entre sí, debemos compararlas todas ellas. Para ello, hay que escribir fracciones equivalentes a éstas con denominador común a todas: Así: Por tanto: Si quieres seguir aprendiendo pincha en el siguiente botón para acceder a la entrada siguiente.Solución
Ejercicio 3
Solución
