Aproximaciones y errores - Las clases de Laura

Ahora veremos la aproximación de números reales. ¿Cómo se calculan las aproximaciones y errores de un número? ¿Cómo se redondea un número real?

Si quieres ver más contenido relacionado visita nuestro temario sobre números racionales.

Tabla de contenidos

Aproximaciones

En la vida cotidiana se nos presentan situaciones en las que no se puede, o no interesa, realizar cálculos con valores exactos, ya sea porque el valor exacto es desconocido o porque la información que ofrecería es irrelevante. En estos casos se recurre al cálculo con aproximaciones. Algunas de estas situaciones pueden ser:

Cuando queremos comprar un tercio de carne. Lo normal es pedir unos 350 gramos aproximadamente, no 333,33 gramos…
Si queremos dividir el largo de un folio en cuatro partes. Medimos con la regla el folio y nos da 29,7 cm. Al dividir entre cuatro nos da 7,425 cm. Sin embargo, la regla sólo llega a medir milímetros, por lo que tendremos que medir unos 7,4 cm aproximadamente.
En los supermercados es habitual encontrar los precios sin redondear. Por ejemplo, un kilo de carne picada a 6,99 €. Es un truco psicológico para que la gente piense que compra el kilo de carne a 6€ en lugar de a 7€, pues lo que realmente te ahorras es 1 céntimo.

La aproximación puede ser por exceso, si el valor aproximado es mayor que el número, o por defecto, si el valor aproximado es menor.

Existen varias formas de llevar a cabo una aproximación, pero la más exacta es el redondeo, que es la forma más habitual de realizar una aproximación por ser la forma más exacta. Se pueden redondear tanto números enteros como decimales. Para redondear hay que localizar la cifra que se quiere aproximar y, si la siguiente cifra a ésta es menor que 5 se deja la cifra a redondear igual; si la cifra siguiente a la que se quiere redondear es 5 o mayor, se suma una unidad a la cifra en cuestión.

Por ejemplo, si redondeamos π a las milésimas:

La aproximación realizada es por exceso, ya que es mayor que el número.

También se puede aproximar por truncamiento, aunque este método es menos exacto. Con este método se eliminan las cifras directamente.

Si truncamos el número π a las milésimas:

En este caso, la aproximación realizada es por defecto, ya que es menor que el número.

Cifras significativas

Las cifras significativas es el número de cifras “con valor” con las que se expresa un número aproximado.

Hay que tener en cuenta que:

Las cifras distintas de 0 son siempre significativas.
Los ceros a la izquierda no son cifras significativas. Por ejemplo: 0,0005 tiene una cifra significativa.
Los ceros en medio de otras cifras significativas siempre son significativos. Por ejemplo: 300,1 tiene cuatro cifras significativas.

Ejemplos:

Error absoluto y error relativo

Siempre que se realiza una aproximación se está cometiendo un error. Para cuantificar esos errores se emplean las siguientes medidas:

a) Error absoluto: Es la diferencia, en valor absoluto, entre el valor real y el valor aproximado. Se mide en las mismas unidades que la magnitud que se aproxima, y no debe expresarse con demasiadas cifras significativas (dos o tres es suficiente).

Por ejemplo, aproxima 1/3 kg a 0,33 kg:

Para determinar si este error es grande o pequeño se emplea el error relativo.

b) Error relativo: Es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto. Este valor no tiene unidades, y puede expresarse también en porcentaje multiplicándolo por 100.

Cuando no se conoce el valor real se puede sustituir por el valor aproximado, ya que no suele haber mucha diferencia entre uno y otro.

Por ejemplo, vamos a calcular el error relativo del ejemplo anterior:

Notación científica

La notación científica consiste en escribir un número como producto de un número decimal, cuya parte entera está comprendida entre 1 y 9, y una potencia de base 10.

Esta forma de expresar un número resulta útil para expresar números muy grandes o muy pequeños.

Algunos números que suelen expresarse en notación científica son:

Los prefijos de las potencias de base 10 son:

Ejercicios de aproximaciones y errores resueltos

Ejercicio 1

Trunca a las centésimas 63,1976814:

Solución

Las centésimas es la segunda cifra detrás de la coma. Por tanto, hay que fijarse en la tercera cifra (la que ocupa el lugar de las milésimas) para realizar el redondeo:

Si esta cifra es 5 o mayor, se suma uno a la cifra anterior. En este caso, en las milésimas tenemos un 7, por lo que tendríamos que sumar uno a la cifra que ocupa el lugar de las centésimas: